お子さんからの要求に何かしら答えてあげていれば、遊んであげる必要はないですよ。
1才なら遊びと生活の区別はないので、気になったものをながめたり触ったりしているだけでも楽しい時期だと思います。
ですので、特別な遊びをしてあげなくても大丈夫です。
お子様が何かしら見せたり話しかけて来たときは優しく応答してあげて下さい。
それで十分だと思います。
もっと何かしてあげたいなら本の読み聞かせとか、家事を一緒にするとかでしょうか。
家事の真似っこはかえって邪魔に感じるかもしれませんが、子供はお母さんが大好きなので、お母さんのいつもしていることを真似するのは楽しいですよ。

家事を遊びで取り入れておくと、お子さんが成長するにつれて本当にありがたい戦力にもなります。

良かったら試して見てください。