お子さんからの要求に何かしら答えてあげていれば、遊んであげる必要はないですよ。
1才なら遊びと生活の区別はないので、気になったものをながめたり触ったりしているだけでも楽しい時期だと思います。
ですので、特別な遊びをしてあげなくても大丈夫です。
お子様が何かしら見せたり話しかけて来たときは優しく応答してあげて下さい。
それで十分だと思います。
もっと何かしてあげたいなら本の読み聞かせとか、家事を一緒にするとかでしょうか。
家事の真似っこはかえって邪魔に感じるかもしれませんが、子供はお母さんが大好きなので、お母さんのいつもしていることを真似するのは楽しいですよ。

家事を遊びで取り入れておくと、お子さんが成長するにつれて本当にありがたい戦力にもなります。

良かったら試して見てください。

お子さんが、今笑ってくれるのは、どんなことでしょう？？もくもくと、やろうとするのはどんなことでしょう？！
他の方もおっしゃってますが、難しく考えず！どんなことも遊びになっちゃいます(^^)
月齢や発達でも違うと思いますが、お家でできるまてまてしたり、こちょこちょや、寝転がって、膝にのせて飛行機ブンブン、ママがうつ伏せ、背中にのせたり、ハイハイの背中にしがみついて動いたり、たくさん触れあって遊ぶの、好きな子は多いんじゃないでしょうか！
大きなゴミ袋に空気を入れてぶほっ！！！！と出したり、小さめのボールを転がしたり投げてみたりするのも楽しいですよ♪

こんにちは。
他の方もおっしゃっていますが、くすぐったり、寝転がった状態で脚に乗せて飛行機をしたり、スキンシップからつながる遊びは好きなお子さんは多いと思います。一緒に転がったり。
落とす、転がす、破る、、そんなことも遊びになりますよー！

シール遊びやお絵かきなどをして過ごしてますよ！
我が子は大好きでいつもえんぴつだせだせといってきます！